Contenido
Lenguaje algebraico
Constantes, variables y generalizaciones.
Traducción del lenguaje natural al algebraico y viceversa.
Expresiones algebraicas.
Operaciones básicas con expresiones algebraicas: Suma, resta, multiplicación y división.
Relaciones lineales. Solución de problemas que conducen a una ecuación de primer grado con una incógnita
Lenguaje algebraico
Álgebra es el área de las matemáticas que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades (las reglas de las operaciones) y en resolver ecuaciones. En ella, las operaciones se realizan empleando números, letras y signos que representan simbólicamente otro número o entidad matemática.
Dentro del álgebra encontramos el Álgebra elemental, el Álgebra Booleana, el Álgebra lineal y el Álgebra abstracta.
El razonamiento algebraico está relacionado con el reconocimiento, la identificación, la caracterización, la representación de relaciones entre variables en diferentes contextos, haciendo uso de diferentes sistemas o registros simbólicos ya sean estos, verbales, gráficos o algebraicos.
Por ejemplo: 3X + 5 = 14. El valor que en este caso satisface la incógnita, es 3, dicho valor se conoce como solución o raíz.
Karen cocina galletas todos los días. ¿Cuántas galletas en total cocinaría en siete días?
Solución: 7c
Claudia atrapó catorce pescados y se comió algunos.
Solución: 14 − x
CONSTANTES, VARIABLES Y GENERALIZACIONES
Constante
Aquello que no varía, es decir que admite un solo valor conocido. Se representa a través de un numeral 4, -5, 1.5, etc.
Variable
Una letra usada para representar una cantidad desconocida.
Expresión variable
Una expresión algebraica que contiene una o más variables.
Expresión algebraica
Una expresión que contiene números, variables y operaciones.
TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL ALGEBRAICO Y VICEVERSA
El lenguaje algebraico tiene como finalidad establecer y diseñar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo se emplean los números y sus operaciones matemáticas básicas.
Expresión en el lenguaje cotidiano:
La edad de Pedro más la edad de Juan suman 78 años
Variables:
𝑥 = edad de Juan
𝑦 = edad de Pedro
Expresión en el lenguaje algebraico:
𝑥 + 𝑦 = 78
Expresión en el lenguaje cotidiano:
Después de una fiesta Juanita y Claudia sumaron sus dulces y obtuvieron un total de 78 dulces.
Variables:
𝑥 = dulces de Juanita
𝑦 = dulces de Claudia
Expresión en el lenguaje algebraico:
𝑥 + 𝑦 = 78
OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplo: Calcular el valor numérico del polinomio: P(x) = 2x³ + 5x − 3, para x = −1, x = 0 y x = 1.
P(−1) = 2 · (−1)³ + 5 · (−1) − 3 = 2 · (−1) − 5 − 3 = −2 − 5 − 3 = −10
P(0) = 2 · 0³ + 5 · 0 − 3 = −3
P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Dos Polinomios son iguales si cumplen con éstas reglas:
1. Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x³ + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x³
Dos Polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x³ + 5x - 3 es semejante a Q(x) = 5x³ − 2x − 7
Suma de monomios
Para poder sumar dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal.
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número. Es corriente que para indicar la multiplicación no pongamos el signo "por" entre el número y el paréntesis.
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.
Suma de polinomios
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.
Ejemplo: Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.
Escribimos el segundo polinomio debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo: Restar los polinomios P(x) = 2x3 + 5x – 3 y Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3
Multiplicación de polinomios
1. Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplos:
1. 3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
2. 2 · (3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
División de polinomios
Ejemplo:
Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8, Q(x) = x2 − 2x + 1.
1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
2. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
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